二者都有利用时机和抓住机会的意思，但是在利用机会和抓住时机方便的手段和时段有所差别。

趁机：通过武力、技巧或欺诈手段。

所利用的时段更为紧迫，所获得机会和时机有偶然性更含有人为制造的机会。

如趁火打劫，就是趁别人落难时获取，趁热打铁，就是当别人制造了一定的机会时利用这个机会获得。

乘机: 找空子,利用机会。

只能找空子，等待时机，不使用技巧和欺诈等手段，所遇到的时机富有偶然性和可预见性。

所以两个词的区别在于：手段、时机的偶然性。

虽然都是抓住机会获取。