正整数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，……自然数：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，……（2004年后，0也是自然数）整数：……，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，……有理数：包括整数、有限小数和无限循环小数，即只要能写成m/n（m,n都是整数且n≠0）的数都是有理数。

实数：包括整数、有限小数和无限小数。

自然数是从人们数手指头计数开始的，自然数集合有一个最小数0，以后的数都是从0开始向后加1，2、3、4、...自然数最重要的性质是数学归纳法：如果一个公式P对0成立P(0)，假设它对n成立P(n)，能够推导出它对n+1也成立P(n+1)，那么对于一切自然数P都成立。

自然数集合中的数可以做加法和乘法运算，结果还是自然数，但是自然数做减法结果不一定是自然数，比如1-3=-2就不是自然数，为了能让自然数随便做减法，只能扩大数集，于是产生了整数集合，在整数集合中，加法减法乘法可以随便做，结果还在整数集合中，但是整数集合中做除法，结果不一定是整数，-6/3=-2是整数，但是-5/3结果却不是整数，为了能让整数随意做除法(0不能做除数)，有必要扩大数集，这样就产生了有理数，有理数集合中的有理数，形如m/n，m、n是整数，比如-1可以写作-1/1，其中m=-1，n=1，有了有理数以后，加减乘除都可以做了，数学运算应该圆满了，没漏洞了，后来发现，根据几何学勾股定理：a^2+b^2=c^2，c是直角三角形斜边边长，a、b是两条直角边边长。

如果边长是1的直角三角形，斜边边长c^2=1^2+1^2=2，问题来了，c^2=2，假设c=m/n，m、n没有公因数，那么m^2/n^2=2，m^2=2n^2，那么m应该是2的倍数，设m=2q，(2q)^2=2n^2，得n^2=2q^2，结果n也是2的倍数，说明m、n之间有公因数2，跟假设m、n没有公因数矛盾，假设错误，斜边c不能表示成有理数m/n形式，叫做无理数，圆周率π，自然对数e都是无理数，为了能让有理数进行开方运算和极限运算，必须扩大数集，结果产生了实数，实数集合包括有理数和无理数，无理数本质上不能得到精确结果的，就像上面那个证明，任何形式的m/n都表示不了无理数，不管m、n如何取值，人们只能近似得到无理数值，像圆周率的3.14159265358979323846......它是无限不循环小数，人们取到它的值的方法只能是：比3大比4小，那么取3，如果取3的计算精度不够，那就再取一位，比3.1大比3.2小，精度不够再取，比3.14大比3.15小，如此循环下去，从上界和下界两个方向不断逼近它，知道得到满意的精度为止，在高等数学中，这个不断逼近的过程就是实数的构造过程，当你给出需要的精度ε后，逼近足够次数N后，实数的上界Xsup、下界Xinf、它们之间的任意数Xm、Xn，其差的绝对值小于ε，比如|Xm-Xn|<ε，如果你读大学数学系，那里会讲述这个问题的，实数理论是整个微积分的基础，而在中学，我们只要知道实数是有理数+无理数，有理数既可以表示成分数，也可以表示成循环小数，而无理数是无限不循环小数。