想必现在有很多小伙伴对于如图，在等边三角形$ABC$中，点$P$为$\triangle ABC$内一点，连接$AP$，$BP$，$CP$，将线段$AP$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$AP'$，连接$PP'$，$BP'$.$(1)$用等式表示$BP'$与$CP$的数量关系，并证明；$(2)$当$\angle BPC=120^{\circ}$时，①直接写出$\angle {P'}BP$的度数为______；②若$M$为$BC$的中点，连接$PM$，用等式表示$PM$与$AP$的数量关系，并证明.","title_text":"如图，在等边三角形$ABC$中，点$P$为$\triangle ABC$内一点，连接$AP$，$BP$，$CP$，将线段$AP$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$AP'$，连接$PP'$，$BP'$.$(1)$用等式表示$BP'$与$CP$的数量关系，并证明；$(2)$当$\angle BPC=120^{\circ}$时，①直接写出$\angle {P'}BP$的度数为______；②若$M$为$BC$的中点，连接$PM$，用等式表示$PM$与$AP$的数量关系，并证明.方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于如图，在等边三角形$ABC$中，点$P$为$\triangle ABC$内一点，连接$AP$，$BP$，$CP$，将线段$AP$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$AP'$，连接$PP'$，$BP'$.$(1)$用等式表示$BP'$与$CP$的数量关系，并证明；$(2)$当$\angle BPC=120^{\circ}$时，①直接写出$\angle {P'}BP$的度数为______；②若$M$为$BC$的中点，连接$PM$，用等式表示$PM$与$AP$的数量关系，并证明.","title_text":"如图，在等边三角形$ABC$中，点$P$为$\triangle ABC$内一点，连接$AP$，$BP$，$CP$，将线段$AP$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$AP'$，连接$PP'$，$BP'$.$(1)$用等式表示$BP'$与$CP$的数量关系，并证明；$(2)$当$\angle BPC=120^{\circ}$时，①直接写出$\angle {P'}BP$的度数为______；②若$M$为$BC$的中点，连接$PM$，用等式表示$PM$与$AP$的数量关系，并证明.方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

$left(1right)BP'=CP$，证明：$because triangle ABC$是等边三角形，$therefore AB=AC$。

$angle BAC=60^{circ}$，$therefore angle 2+angle 3=60^{circ}$$because $将线段$AP$绕点$A$顺时针旋转$60^{circ}$得到$AP'$，$therefore AP=AP'$。

$angle PAP'=60^{circ}$，$therefore angle 1+angle 2=60^{circ}$，$therefore angle 1=angle 3$。

$therefore triangle ABP'$≌$triangle ACPleft(SASright)$，$therefore BP'=CP$；$(2)$①当$angle BPC=120^{circ}$时，则$angle 8+angle 6=180^{circ}-angle BPC=60^{circ}$。

$because triangle ABP'$≌$triangle ACP$，$therefore angle 4=angle 5$，$therefore angle {P'}BP=angle 4+angle 7$$=angle 5+60^{circ}-angle 8$$=60^{circ}-angle 6+60^{circ}-angle 8$$=120^{circ}-left(angle 6+angle 8right)$$=120^{circ}-60^{circ}$$=60^{circ}$。

故答案为：$60^{circ}$；②$AP=2PM$，理由如下：延长$PM$到$N$，使$PM=MN$。

连接$BN$，$CN$，$because M$为$BC$的中点。

$therefore BM=CM$，$therefore $四边形$PBNC$为平行四边形，$therefore BN$∥$CP$且$BN=CP$。

$therefore BN=BP'$，$angle 9=angle 6$，又$because angle 8+angle 6=60^{circ}$。

$therefore angle 8+angle 9=60^{circ}$，$therefore angle PBN=60^{circ}=angle {P'}BP$，又$because BP=BP$。

${P'}B=BN$，$therefore triangle {P'}BP$≌$triangle NBPleft(SASright)$，$therefore PP'=PN=2PM$。

又$because triangle APP'$为正三角形，$therefore PP'=AP$，$therefore AP=2PM$.。

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

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